Константин Юченков родился в театральной семье, его родителями были актриса Ирина Браун и артист Глеб Юченков, поэтому с младенчества он проводил время в чарующем мире Мельпомены.
Он окончил ГИТИС, играл в Ульяновском и Таллинском драматических театрах, однако большую часть жизни он посвятил Тверскому драмтеатру, где проработал 45 лет. За эти годы он воплотил в жизнь характеры более сотни героев, среди них и Мольер, Лопахин, Денис Давыдов, Мурзавецкий, Граф Лестер, Дед Мороз, Кот Леопольд, Карлсон и многие другие харизматичные и яркие персонажи.
Константин Юченков проявил себя и как режиссёр – поставил такие прекрасные спектакли, как «Норвежский круиз» (16+) и «Декамерон» (16+). Он стремился передать опыт молодым актерам и актрисам, обучал их мастерству, ведь его талант распространился не только по сценам театров, но и по телеэкранам. Одной из его ярких ролей стал генерал-майор Василий Хоменко в кинокартине «Прощаться не будем» (12+). Его дети и внуки продолжают его дело – служат искусству.
Последний раз Константин Юченков вышел на сцену 17 октября 2019 года, тогда он сыграл Фила Кавиллери в спектакле «История любви» (12+). А под Новый 2020 год его уже не стало, актер не выдержал тяжелой болезни и скоропостижно скончался. Он покоится на кладбище Дмитрово-Черкассы.